Quando é que um subespaço fechado possui complemento?

11/11/2010

Segundo o artigo de Hilbert space da Wikipedia, vale o seguinte resultado surpreendente!

A Banach space X is such that, to every closed subspace V, there is a closed subspace W such that X is equal to the internal direct sum V\oplus W if and only if X is topologically and linearly isomorphic to a Hilbert space.

Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (1971), “On the complemented subspaces problem”, Israel Journal of Mathematics 9: 263–269, doi:10.1007/BF02771592MR0276734ISSN 0021-2172.
Esse artigo está disponível aqui no blog.

Tem um survey de 2006 sobre essa questão está disponível aqui no blog ou aqui.  Nesse survey ele expõe diversos exemplos de subespaços fechados que não possuem complementos: por exemplo c_0 em l_\infty! Fala também sobre a história e questões em aberto envolvendo esse problema.

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Big Bang Was Followed by Chaos, Mathematical Analysis Shows

14/09/2010

Eu encontrei por coincidência esta notícia quando buscava por “math news” no Google:
Big Bang Was Followed by Chaos, Mathematical Analysis Shows.

Parece interessante o que eles analisam nesse artigo do qual um dos autores é da UFRJ, vale a pena dar uma olhada no abstract:
http://www.springerlink.com/content/5512418tw2326753/


Conjunto de Cantor

04/07/2010

Neste post, vou fazer uma exposição breve sobre o conjunto de Cantor (sob uma perspectiva que eu adotei). Este post usará as considerações do post. Aqui, vou definir o espaço/conjunto de Cantor como sendo o prodtuo de espaços topológicos discretos K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} .

Tem-se, pelo teorema de Tychonoff, que K é compacto. Além disso, pelas considerações do post, segue que K é homeomorfo a K^n (qualquer que seja o n\in\mathbb{N} ) e, também, é homemorfo a K ^\mathbb{N} .

O conjunto de Cantor é originalmente construído na reta. Aqui, vou definir conjunto de Cantor na reta como sendo qualquer imersão topológica do espaço K na reta. Ou seja, se f:K\to\mathbb{R} é um homeomorfismo sobre sua imagem, f(K) será chamado de um conjunto de Cantor.

Uma observação óbvia é que, por K ser compacto, tem-se que toda injeção contínua f:K\to\mathbb{R} é uma imersão topológica (pois f: K\to f(K) seria uma bijeção contínua de um compacto num Hausdorff (portanto um homeomorfismo)).

Seguindo essa definição de conjunto de Cantor na reta, um exemplo de conjunto de Cantor na reta é construído no post sobre curvas de Peano.

Teorema 1: Seja K=\left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} o espaço/conjunto de Cantor. Tem-se que K é compacto, totalmente desconexo, não possui pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Pelo teorema de Tychonoff, como \left\{ 0,2\right\} é evidentemente compacto, segue que o produto K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} é compacto.

Além disso, é fácil verificar que K é não-enumerável: com, por exemplo, argumento da diagonal de Cantor. Mas, para fazer uma verificação rápida desse fato, é fácil construir uma bijeção de K com o conjunto das partes de \mathbb{N} (de fato, a cada subconjunto de N , associa-se a sua “função característica”). Como o conjunto das partes de \mathbb{N} não é enumerável, segue que K não é enumerável.

Pela própria definição da topologia produto, não há como K possui pontos isolados. De fato, todo aberto de K deve ter uma projeção em \left\{ 0,2\right\} cuja imagem é o espaço \left\{ 0,2\right\} todo (pela definição da topologia produto). Logo, dados (x_1 , \ldots , x_n , \ldots )\in K e uma vizinhança aberta U\subset K desse ponto, segue que existe k\in\mathbb{N} tal que p_k (U) = \left\{ 0,2\right\} . Mas isso quer implica que (x_1, \ldots , x_k' , \ldots )\in U , onde x_k' \neq x_k . Isso, então, provou que todos pontos de K são não isolados.

Para encerrar a demonstração, prova-se que K é totalmente desconexo (ou seja, as componentes conexas de K são unitárias). Com efeito, dada uma componente conexa C\subset K , segue que as imagens de C pelas projeções devem ser conexas. Mas as únicas componentes conexas de \left\{ 0,2\right\} são os pontos. Então, para todo j\in\mathbb{N} , p_j (C) é unitário. E, portanto, C é unitário. E isso, então, completa a prova de que K é totalmente desconexo.

CQD

Seguem as propriedades conhecidas do conjunto de Cantor na Reta. Abaixo, estão enunciadas e provadas.

Corolário 1.1: Seja C\subset\mathbb{R} um conjunto de Cantor. Segue que C é compacto, tem interior vazio, não contém pontos isolados e é não-enumerável.

Demonstração: Com efeito, pela definição, tem-se que C é homemorfo a K = \left\{ 0,2\right\} ^\mathbb{N} . Logo, pelo teorema 1, tem-se que C é compacto (portanto limitado e fechado), é não enumerável e não contém pontos isolados.

Além disso, tem-se que C é totalmente desconexo. Em particular, todos subconjuntos conexos de C são unitários. Disse segue que C não contém intervalos e, portanto, possui interior vazio.

CQD

Aqui, o post ficaria completo. Foram definidos os conjuntos de Cantor. Além disso, este último corolário mostrou que os conjuntos de Cantor na reta possuem as propriedades interessantes esperadas do conjunto de Cantor. Mas, antes de encerrar o post, será provado que o conjunto de Cantor usual (como, por exemplo, é definido nos livros livros de análise) é um conjunto de Cantor segundo a definição deste post.

Não vou colocar, aqui, a definição usual. Muito menos discutí-la em detalhes. Acho que tem lugares onde isso pode ser encontrado (como wikipedia ). Denotemos por A o esse conjunto de Cantor usual. Uma das observações interessantes de se fazer é que o conjunto A é construído de tal forma que seus números na base 3 sejam escritos com os algarismos 0 e 2 somente. Na primeira etapa, tira-se o conjunto dos números, onde 0, x_1x_2\ldots na base 3 tem x_1 = 1 . Na etapa 2 , tiram-se os números 0, x_1x_2x_3x_4\ldots onde x_2=1 na base 3 .

No final da construção, o conjunto A fica sendo o conjunto dos pontos 0,x_1x_2x_3x_4\ldots tais que podem ser escritos na base 3 apenas com os algarismos 0 e 2 .

Define-se no conjunto de Cantor K a métrica \displaystyle d(x,y) =\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i -y_i\right| }{3^i} . E, então, define-se a aplicação \alpha : K\to A , onde \alpha (x) = d(x,0) .  Pelas considerações acima, segue que isso está bem definido e é uma sobrejeção. Além disso, \alpha é contínua e é fácil verificar que \alpha é injetiva. Portanto \alpha é uma bijeção contínua.

Como K é compacto e A é Hausdorff, segue que \alpha é um homeomorfismo. Portanto, de fato, A é um conjunto de Cantor.


Curvas de Peano

03/07/2010

Neste post todo, o intervalo \left[ 0,1\right] será denotado por I . Seja M um espaço métrico. Uma curva de Peano em M é uma aplicação contínua f:I\to M sobrejetiva.

Essas curvas de Peano tem relação (evidente) com o “cálculo” de grupos fundamentais. Em particular, a existência dessas curvas de Peano, por exemplo, está relacionada com a prova de que S^n é simplesmente conexo para n\geq 2 . Isso será explicado em outro post.

Aqui, vou construir de forma direta uma curva de Peano em I^n , n\in\mathbb{N} qualquer (por exemplo, I^2 é o quadrado fechado). Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior.

Segue, abaixo, mais um lema sobre extensão contínua que será importante para a construção das curvas de Peano.

Lema 1: Seja C\subset I um subconjunto fechado. Se X\subset\mathbb{R}^n é um conjunto convexo, segue que qualquer aplicação contínua f:C\to X possui extensão contínua F:I\to X .

Demonstração: Com efeito, pela estrutura (topológica) da reta, tem-se um resultado conhecido de que todo aberto pode ser escrito como uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos. Logo I-C é escrito como uma reunião enumerável \displaystyle\bigcup _{k\in L} A_k de intervalos abertos A_k = (a_k,b_k) . Logo define-se F(x) = f(x) , se x\in C . E, para x\in I-C , tem-se que x\in (a_k,b_k) para algum k\in L e, nesse caso, define-se \displaystyle F(x) = \left(\frac{x-b_k}{a_k-b_k}\right)f(a_k)+\left(\frac{a_k-x}{a_k-b_k}\right) f(b_k) . Verificar que F é, de fato, contínua é fácil. Além disso, pode-se notar que F está definida nesses intervalos abertos como sendo o segmento de reta que liga os valores de f nos extremos.

CQD

Antes de construir a curva de Peano, seguem algumas definições e um lema importante para a construção. Seja \left\{ 0,1\right\} o espaço topológico (metrizável) munido da topologia discreta.

Segue que K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que K é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que K é homeomorfo a K^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ) .

Lema 2: Seja K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} o produto dos espaços topológicos discretos. Existe uma aplicação contínua sobrejetiva h : K\to I^n .

Demonstração: Define-se uma métrica em K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} . Dados x,y\in K , define-se \displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i-y_i\right| }{2^i} . E, então, a aplicação \alpha : K\to I tal que \alpha (x) = d(x,0) , denotando-se 0 = (0,\ldots ,0) ,  é evidentemente contínua e sobrejetiva. Logo, dado n\in\mathbb{N} , \alpha\times\cdots\times\alpha = (\alpha )^n : K^n\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Seja, então \beta : K\to K^n um homeomorfismo. Segue, então, que h= (\alpha )^n\circ\beta : K\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva.

CQD

Teorema de Peano: Para qualquer n\in\mathbb{N} , existe uma aplicação contínua f: I\to I^n sobrejetiva.

Demonstração: Mune-se K=\left\{ 0,1\right\} ^\mathbb{N} da seguinte métrica coerente com a topologia produto d(x,y) = \displaystyle\sum _{i=1}^\infty \frac{\left| x_i - y_i\right|}{10^i} .

Define-se, então, a aplicação contínua \phi : K\to I tal que \phi (x) = d(x,0) . É fácil verficar que \phi é injetiva. Define-se M=\phi (K) . Tem-se, então, que M é compacto (e, em particular, fechado em I ). Além disso, tem-se que \varphi : K\to M , onde \varphi (x) = \phi (x) , é uma bijeção contínua definida num compacto que toma valores num espaço Hausdorff. Portanto  \varphi é um homeomorfismo e, então, K e M são homeomorfos.

Dado n\in\mathbb{N} , toma-se a aplicação contínua sobrejetiva h: K\to I^n , cuja existência é garantida pelo lema 2. Portanto h\circ (\varphi )^{-1}: M\to I^n é uma aplicação contínua sobrejetiva. Pelo lema 1, segue que existe uma extensão contínua f: I\to I^n (sobrejetiva) de h\circ (\varphi )^{-1} .

CQD


Homeomorfismo do Produto

02/07/2010

O que vou expor aqui está intimamente ligado com o post sobre Conjunto de Cantor e com o post sobre Curvas de Peano (que serão feitos nos próximos dias). O post será breve: apenas para expor um resultado simples. Antes de falar de produto de espaços topológicos, é importante relembrar a definição de topologia produto. E, para isso, há um post muito bem escrito pelo André.

Aqui, vou fazer apenas uma discussão breve sobre uma propriedade da topologia produto. A pergunta é: “Quando um espaço topológico X é homeomorfo ao espaço X\times X ?” (Existem espaços que satisfazem isso (por exemplo, um ponto). E, como pode ser visto no post, o conjunto de Cantor satisfaz essa propriedade).

Seja X um espaço topológico. Se X é homeomorfo a X\times X , é fácil ver, fazendo uma indução óbvia, que X é homeomorfo a X^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ). Isso seria, portanto, uma condição necessária.

Neste post, não me preocuparei em procurar uma condição “necessária e sufieciente”, vou apenas destacar uma condição suficiente. Uma condição suficiente para que X seja homeomorfo a X^n é que X seja homeomorfo a um produto Y^{\mathbb{N} } de um espaço topológico Y qualquer. Isso será enunciado e provado abaixo.

Lema 1: Sejam X, Y espaços topológicos. Se X é homeomorfo a Y^\mathbb{N} , segue que X é homeomorfo a X^{\mathbb{N}} e a X^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ).

Demonstração: Com efeito, basta provar que Z=Y^\mathbb{N} é homeomorfo a Z\times Z e a Z^\mathbb{N} .  Define-se a aplicação

f: Z\to Z\times Z , onde f(x_1, \ldots , x_n , \ldots ) = ((x_1 , \ldots , x_{2n+1} ,\ldots ), (x_2,\ldots , x_{2n}, \ldots )) .

Ou seja, dada uma seqüência (x_n)\in Z =Y^{\mathbb{N} } , tomam-se as as subseqüências dos termos de índice ímpar (x_{2n-1}) e a subseqüência dos termos de índice par (x_{2n}) . E, então, define-se f((x_n)) =((x_{2n-1}), (x_{2n})) . É fácil de verificar que essa aplicação é bijetiva. E, usando as projeções, é fácil verificar que f é um homeomorfismo.

E, seja \displaystyle\mathbb{N} = \bigcup _{i=1}^\infty \mathbb{N}_i uma partição de \mathbb{N} em conjuntos infinitos \mathbb{N}_i .

De fato, bastava tomar, para i\neq 1 , o conjunto \mathbb{N}_i =\left\{ p_{i+1}^k:k\in\mathbb{N}\right\} , onde p_{i+1} é o (i+1) -ésimo primo. E, então, bastava fazer \mathbb{N}_1 = \mathbb{N} - \displaystyle\bigcup _{i=1}^\infty \mathbb{N}_i .

Define-se g: Z\to Z^{\mathbb{N}} , onde g( (x_n) ) = ((x_k)_{k\in\mathbb{N}_1}, \ldots , (x_k)_{k\in\mathbb{N}_n} , \ldots ) . E, de forma análoga, é fácil ver que g é uma bijeção e, também, é fácil verificar que g é um homeomorfismo.

CQD

E, para completar esse post, vou expor uma conseqüência óbvia.

Conseqüência: Seja X um espaço topológico. Para X ser homeomorfo a X^{ \mathbb{N}} é necessário e suficiente que X seja homeomorfo a algum produto de espaços topológicos Y^\mathbb{N} .


Grupo Fundamental de Grupos Topológicos

30/06/2010

Uma das características interessantes do functor grupo fundamental é que nem todo espaço topológico possui grupo fundamental abeliano. Por exemplo, todas superfícies compactas de gênero maior ou igual a 2 possuem grupo fundamental não abeliano.

Vou mostrar, neste post, que todos grupos fundamentais de um grupo topológico são isomorfos. Além disso, vou provar qu eles são abelianos. Isso tem algumas implicações interessantes. Por exemplo, se um espaço topológico X possui grupos fundamentais não-abelianos, segue que X não admite uma estrutura de grupo que o torne um grupo topológico.

Teorema 1: Seja G um grupo topológico. Todos grupos fundamentais de G são isomorfos entre si.

Demonstração 1: Com efeito, se os pontos base de dois grupos fundamentais estiverem na mesma componente conexa por caminhos, segue que eles são isomorfos. Caso contrário, é fácil ver que \pi _1 (G, x) = \pi _1 (H,x) quando H é a componente conexa por caminhos de x (isso é bem tranqüilo de provar, mas talvez eu comente (ou demonstre) em algum post).  Como todas componentes conexas por caminhos num grupo topológico são homeomorfas entre si, segue que elas têm o mesmo grupo fundamental.

CQD


Sejam G um grupo topológico e i\in G seu elemento neutro. Toma-se a componente conexa por caminhos do elemento neutro H\leq G (que é um subgrupo topológico). Será provado que H possui grupo fundamental abeliano.

Define-se no grupo fundamental \pi _1 (H, i) uma outra operação. Dados \alpha = \left[ a\right], \beta = \left[ b\right]\in\pi _1 (H,i) (onde a,b:I\to H são caminhos com base i ), define-se \alpha\bullet\beta = \left[ \alpha\cdot\beta\right] , onde \alpha\cdot\beta :I\to H , com \alpha\cdot\beta(s) = a(s)\cdot b(s) (aqui, \cdot denota a operação no grupo H ). Resta provar que a operação \bullet está bem definida.

Primeiramente, prova-se que \alpha\cdot\beta é, de fato, um caminho com base em i . Com efeito, tem-se que \alpha\cdot\beta = m\circ (\alpha , \beta ) , ou seja, \alpha\cdot\beta é composição de aplicações contínuas e, portanto, é contínua. Além disso, tem-se que \alpha (0)\cdot\beta (0) = i\cdot i = i = i\cdot i =\alpha (1)\cdot\beta (1) . Portanto, de fato, \left[ \alpha\cdot\beta\right]\in \pi _1 (H,i) . Resta provar que a definição não apresenta ambigüidade. Dados \alpha = \left[ a_1\right] = \left[ a_2\right], \beta = \left[ b_1\right] =\left[b_2\right] no grupo fundamental \pi _1(H,i) , segue que existem homotopias H: a_1\cong a_2 e L: b_1\cong b_2 relativas ao ponto i . Logo é fácil de verificar queG: I\times I\to H tal que G(s,t) = H(s,t)\cdot L(s,t) é uma homotopia entre a_1\cdot b_1 e a_2\cdot b_2 relativa ao ponto i . Isso provou que \left[ a_1\cdot b_1\right] = \left[ a_2\cdot b_2\right] . E, portanto, isso completou a prova de que a operação \bullet está bem definida.

Teorema 2: Seja G um grupo topológico. Todos grupos fundamentais de G são abelianos. Além disso, o produto acima definido coincide com a operação usual no grupo fundamental.

Demonstração: Com efeito, pelo provado no teorema 1, basta provar que o grupo fundamental da componente conexa por caminhos do elemento neutro i\in G é abeliano. Sejam H essa componente conexa por caminhos e e_i\in\pi _ i (H,i) o caminho constante. Dados \left[ a\right] , \left[ b\right]\in \pi _i (H,i) , é fácil verificar que

\left[ a\right] \left[ b\right] =\left[ ab\right] = \left[ ae_i\cdot e_ib\right] =

\left[ ae_i\right]\bullet\left[ e_ib\right] = \left[ a\right]\bullet\left[b\right] =

\left[ e_ia\right]\bullet \left[ be_i\right] = \left[ e_ia\cdot be_i\right] =

\left[ ba\right] = \left[ b\right] \left[a\right]

Isso provou as duas afirmações do teorema.

CQD

Com esse teorema, podemos, por exemplo, concluir que, para n\geq 2 , um n – toro não admite estrura de grupo que o torne um grupo topológico. Além disso, é com esse teorema que vou provar, futuramente, que se n\geq 2 , o n-ésimo grupo de homotopia de um espaço é necessariamente abeliano. Ou seja, dentre os grupos de homotopia, só o grupo fundamental pode não ser abeliano!!!


Outro lema sobre extensão

29/06/2010

Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Diz-se que A é um retrato de X se existe uma aplicação contínua R: X\to A tal que R(x) = x para todo x\in A . Isso, em termos de extensão contínua, pode ser colocado da seguinte forma A\subset X é um retrato de X se a aplicação Id: A\to A possui extensão contínua R: X\to A . A extensão contínua R: X\to A é chamada de retração.

Aqui, vou apresentar um lema sobre extensão que, na verdade, é uma caracterização de retratos de espaços.

Lema 1: Seja X um espaço topológico. Um subespaço A\subset X é retrato de X se, e somente se, toda aplicação f:A\to Y contínua possuir uma extensão contínua F: X\to Y .

Demonstração: Com efeito, se toda aplicação f:A\to Y possui extensão contínua, segue, em particular, que Id :A\to A possui extensão contínua R: X\to A . Logo A é retrato.

Reciprocamente, se A\subset X é um retrato, toma-se a retração R: X\to A . Dada f:A\to Y contínua, segue que F := f\circ R é uma extensão contínua de f .

CQD

Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Uma retração R: X\to A é chamada de retração por deformação se ela for, também, uma equivalência homotópica com inverso homotópico sendo a inclusão i:A\to X .

Usando o lema sobre extensão, segue um resultado interessante: todo retrato de um espaço contrátil é contrátil. Afinal, se X é um espaço contrátil e A\subset X é retrato do espaço X , segue que Id: A\to A possui extensão contínua. E, pelo lema sobre extensão , isso implica que Id é homotópica a uma aplicação constante. Portanto A é contrátil.

Outra forma de provar isso, é vendo que, se X é um espaço contrátil, toda retração com domínio em X é uma retração por deformação. Afinal, se R:X\to A é uma retração, tem-se que a inclusão i:A\to X   é homotópica a alguma aplicação constante. Logo R\circ i =Id e i\circ R é homotópico a uma aplicação constante. Como X é contrátil, segue que i\circ R :X\to X , por ser homotópico a uma aplicação constante, é homotópico à aplicação identidade. Isso provou que, de fato, R é uma equivalência homotópica e, portanto, A contrátil.