Base “canônica” para formas simpléticas.

09/05/2010

Inspirados nas propriedades dos determinantes de matrizes 2 \times 2, definimos o que seria uma forma simplética.

Definição 1: Dado um espaço vetorial de dimensão finita V, uma forma simplética sobre V é uma aplicação \Omega: V \times V \rightarrow \mathbb{R} que é bilinear, anti-simétrica e não degenerada. Dizemos que (V, \Omega) é um espaço vetorial simplético.

Dizer que \Omega é anti-simétrica, significa dizer que \Omega(x,y) = -\Omega(y,x). E isso implica em particular que \Omega(x,x) = 0. Dizer que \Omega é não degenerada, é o mesmo que dizer que para cada x \in V não nulo fixado, o funcional linear \Omega(x, \cdot): y \mapsto \Omega(x, y) não é identicamente nulo. Em outras palavras, para todo x \in V não nulo, existe y \in V tal que \Omega(x, y) \neq 0.

As formas simpléticas possuem algumas semelhanças com o produto interno (nos reais). Por exemplo, se fixarmos uma das coordenadas obtemos um funcional linear. O produto interno também é não degenerado. Com o produto interno, podemos construir uma base ortonormal. A grande vantagem da base ortonormal, é que o produto interno assume sempre a mesma forma (\sum x_i y_i) quando os vetores estão escritos nesta base. Neste post, mostraremos que as formas simpléticas possuem propriedade semelhante.

Primeiro, para fazer as coisas a la André, vamos para algumas definições, propriedades e caracterizações. 🙂

Uma diferença entre as formas simpléticas e o produto interno, é que no caso do produto interno, dado um subespaço W \subset V, a restrição do produto interno a W \times W continuava sendo um produto interno, desta vez sobre W. No caso de uma forma simplética \Omega, nem sempre temos que \Omega |_{W \times W} é uma forma simplética de W. Quando o for, dizemos que W é simplético.

Definição 2: Seja (V, \Omega) é simplético e W \subset V. Se (W, \Omega|_{W \times W}) é uma forma simplética (ou seja, é não degenerada), dizemos que W é um subespaço simplético.

Definição 3: Dado um espaço vetorial simplético (V, \Omega), defina \tilde{\Omega}: V \rightarrow V^* a aplicação \tilde{\Omega}(x) \mapsto \Omega(x, \cdot).

Note que dizer que \Omega é não degenerado, é o mesmo que dizer que \ker(\tilde{\Omega}) = \{0\}.

Lema 1: A aplicação \tilde{\Omega} é bijetiva.

Demonstração: De fato, pela observação acima, a aplicação é injetiva. Como \dim(V) = \dim(V^*), a aplicação é também sobrejetiva.


Definição 4: Dado um subespaço W \subset V, definimos W^\Omega = \{v \in V | \text{para todo } w \in W,\, \Omega(v,w) = 0\}. Este é o subespaço ortogonal a W.

Note, que diferentemente do caso do produto interno, não é sempre verdade que V = W \oplus W^\Omega, pois é possível que W \cap W^\Omega \neq \{0\}. Nosso primeiro resultado interessante será justamente o fato de que V = W \oplus W^\Omega sempre que, e apenas quando, W for simplético. (proposição 1)

Lema 2: Vale que \dim(V) = \dim(W) + \dim(W^\Omega).

Demonstração: Considere a aplicação \tilde{\Omega}_W: V \rightarrow W^* dada por \tilde{\Omega}_W(v) = \tilde{\Omega}(v)|_{W}. Ou seja, é a composição de \tilde{\Omega} com a restrição em W. Note que \ker(\tilde{\Omega}_W) = W^\Omega. Se mostrarmos que \tilde{\Omega}_W é sobrejetiva, teremos que \dim(V) = \dim(W^*) + \dim(W^\Omega). Como \dim(W^*) = \dim(W), isso concluiria a demonstração.

Sabemos pelo lema 1 que \tilde{\Omega} é sobrejetiva. Assim, dizer que \tilde{\Omega}_W é sobrejetiva é o mesmo que dizer que todo funcional linear em W é a restrição de algum funcional linear em V. Em outras palavras, é o mesmo que dizer que todo funcional em W pode ser estendido a V. Este fato é verdadeiro. De fato, basta estender uma base de W a uma base de V e definir arbitrariamente o funcional nos “novos vetores da base”. (ficou um bocado informal… formalize isso por conta própria :-P)


Observação: Uma das consequências do lema 2, é que (W^\Omega)^\Omega = W. (verifique)

Proposição 1: O subespaço W \subset V é simplético \Leftrightarrow W \cap W^\Omega = \{0\} \Leftrightarrow V = W \oplus W^\Omega \Leftrightarrow V = W + W^\Omega.

Demonstração: A equivalência entre as três últimas condições é consequência direta do lema 2. Observe que dizer que W é simplético é o mesmo que dizer que W \cap W^\Omega = \{0\}. E isso concluí a demonstração! 🙂


E finalmente…

Teorema: Seja (V, \Omega) um espaço vetorial simplético. Então existe uma base de V dada por vetores e_1, \dotsc, e_n, f_1, \dotsc, f_n tais que para todo i, j = 1, \dotsc, n, temos que \Omega(e_i, e_j) = \Omega(f_i, f_j) = 0 e \Omega(e_i, f_j) = \delta_{ij}. Em particular, todo espaço vetorial simplético tem dimensão par.

Demonstração:

Afirmação 1: Se W \subset V é simplético, então W^\Omega também é simplético.

A afirmação é consequência imediata da proposição 1.

Afirmação 2: Dado um espaço vetorial simplético (V', \Omega') qualquer, sempre existem e, f \in V' linearmente independentes, tais que \Omega(e,f) = 1. Neste caso, o subespaço \left<e, f\right> é simplético.

Tome e \in V' não nulo. Pela não degenerescência de \Omega' existe g \in V' tal que \Omega'(e, g) = \alpha \neq 0. Basta então tomar f = \frac{g}{\alpha}. Note que e, f são linearmente independentes, pois caso contrário teríamos \Omega'(e,f) = 0. É fácil ver que o subespaço gerado será simplético.

Afirmação 3: Se W \subset V é simplético e U \subset W^\Omega também é simplético, então W + U é simplético. Neste caso, W + U = W \oplus U, pois W \cap U \subset W \cap W^\Omega = \{0\}.

Tome w + u \in W + U. Então existem w' \in W e u' \in U tais que \Omega(w,w') = \Omega(u,u') = 1. Assim, \Omega(w+u, w'+u') = \Omega(w,w') + \Omega(u,w') + \Omega(w,u') + \Omega(u,u') = \Omega(w,w') + \Omega(u,u') = 2 \neq 0.

Considere a família \mathcal{F} de todos os subespaços V' \subset V simpléticos tais que o teorema vale para V'. Note que essa família é não vazia pela afirmação 2. Tome W \in \mathcal{F} maximal. Basta então mostrar que W = V.

Não fosse o caso, pelo lema 2, teríamos W^\Omega \neq \{0\}. Pela afirmação 1, W^\Omega é simplético. Agora, pela afirmação 2, podemos encontrar e, f \in W^\Omega tais que \Omega(e, f) = 1 e \left<e, f\right> \subset W^\Omega é simplético. No entanto, pela afirmação 3, W' = W \oplus \left<e, f\right> é simplético, contradizendo a maximalidade de W. (verifique que W' satisfaz as condições do teorema)

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Lei dos Paralelogramos e Lei dos Cossenos.

23/04/2010

A Lei dos Cossenos pode ser reformulada sem o uso de ângulo ou produto interno, assumindo o formato conhecido como Lei dos Paralelogramos.

Seja E um espaço vetorial munido de um produto interno (\cdot,\cdot ), a Lei dos Cossenos pode ser enunciada assim:

{\| b\| }^{2}+{\| a\| }^{2} -2 \| a \| . \| b \| cos(\theta ) = \| a-b \| ^2(Lei dos Cossenos)

Onde cos(\theta )=\frac{(a,b)}{\| a \| . \| b \|},a,b\in E

Mas,

(a,b)=\frac{{\| a+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2 }{2}

Assim, a Lei dos Cossenos fica,

{\| a \| } ^2+ {\| b\| }^2 -{\| a+b \| }^2+{\|a\| }^2 +{\|b\| }^2={\| a-b\| }^2

Isto é,

2{\| a\| }^2+2{\| b\| }^2 ={\| a+b\| }^2+{\| a-b\| }^2(Lei dos Paralelogramos)

A argumentação acima mostra que em um espaço vetorial E munido de um produto interno (\cdot ,\cdot ) a Lei dos Paralelogramos é exatamente a Lei dos Cossenos. A primeira vista somos levados a imaginar que a Lei dos paralelogramos pode ser válida em um espaço Vetorial normado E, com norma \| \cdot \|, no qual não vale a Lei dos Cossenos. Surpreendentemete, veremos que ainda assim a Lei dos parelelogramos é exatamentea a Lei dos Cossenos.

Theorema: Seja E um espaço vetorial normado com norma \| \cdot \|, no qual vale,

2{\| a\| }^2+2{\| b\| }^2 ={\| a+b\| }^2+{\| a-b\| }^2(Lei dos Paralelogramos)

Para todo a,b\in E.

Então \| a\|=\sqrt (a,a) para algum produto interno (\cdot ,\cdot )  em E.

Demonstração: Se  \| a\|=\sqrt (a,a) algum produto interno (\cdot ,\cdot )  em E, então,

(a,b)=\frac{{\| a+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2 }{2}

Basta então mostrar (\cdot ,\cdot ) dado pele equação acima  é um produto interno em E.

Ou seja,

(i)(\cdot ,\cdot ) é simétrica.

Isso é claro  da sua definição.

(ii)(a ,a )\geq 0, a\in E e (a,a)=0 se e somente se a=0

Isso é claro, pois pela definição (a ,a )=\| a\| ^2

(iii)(\cdot ,\cdot ) é bilinear.

De fato, sejam a, a',b \in E, e vejamos que, (a,b)+(a',b)=(a+a',b)

(a,b)+(a',b)=\frac{{\| a+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2 }{2}+\frac{{\| a'+b\| }^2- \| a'\| ^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{\| a+b\| }^2+{\| a'+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{\frac{{\| a+b+a'+b\| }^2+ \| a-a'\| ^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}

Mas pela Lei dos Paralelogramos, segue que,

{\| (a+a'+b)+b\| }^2=2{\| a+a'+b\| }^2+2{\| b\|}^2-{\| a+a'\| }^2

Substituindo na última expressão obtemos:

\frac{{\frac{2{\| a+a'+b\| }^2+2{\| b\|}^2-{\| a+a'\| }^2+ \| a-a'\| ^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{{\| a+a'+b\| }^2+{\| b\|}^2+\frac{-{\| a+a'\| }^2+ \| a-a'\| ^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

Mas pela Lei dos Paralelogramos, segue que,

{\| a-a'\| }^2=-{\|a+a'\| }^2+{\| a\| }^2+2{\| a'\| }^2

Substituindo na última expressão obtemos:

\frac{{{\| a+a'+b\| }^2+{\| b\|}^2+\frac{-{\| a+a'\| }^2-{\|a+a'\| }^2+2{\| a\| }^2+2{\| a'\| }^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{{\| a+a'+b\| }^2+{\| b\|}^2{-{\|a+a'\| }^2+{\| a\| }^2+{\| a'\| }^2}{}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{\| a+a'+b\| }^2-{\| a+a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=(a+a',b)

Agora, para b\in E fixado, vejamos que g_b (a)=(a,b),a\in E é uma função linear, segue da argumentação anterior que g_b (a+a')=g_b (a)+g_b (a')a,a'\in E, donde g_b (ra)=rg_b (a), a\in E, r \in \mathbb Q. Dado agora r\in \mathbb R, seja \{r_n \} uma sucessão em \mathbb Q que converge para r, segue da continuidade de g_b que,

g_b (ra)=g_b(lim_{n\rightarrow \infty }r_n a)=lim_{n\rightarrow \infty}g_b (r_n a)=lim_{n\rightarrow \infty}r_n g_b (a)=

rg_b (a)

Logo, g_b (a),a\in E é uma função linear.

Na verdade o fato da Lei dos Paralelogramos ser sempre exatamente a Lei dos Cossenos, não é tão surpreendente assim, visto que sendo a Lei dos Paralelogramos uma “Lei dos Cossenos generalizada”, nela estaria subjacente a idéia de ângulo e onde tem uma noção de angulo é razoável esperar que exista uma estrutura de produto interno.

(qed)


Normas Equivalentes

23/03/2010

Novamente, um post sobre um teorema já exposto. No entanto, vou expor aqui uma forma interessante de se provar a equivalência das normas em um espaço vetorial de dimensão fiinita.

Duas normas num espaço vetorial E são chamadas de equivalentes quando as métricas provenientes dessas normas são equivalentes.

Teorema 1: Sejam E,F espaços vetoriais normados. As seguintes afirmações a respeito de uma aplicação linear T:E\to  F são equivalentes:

1) T é uniformemente contínua;

2) T é contínua;

3) T é contínua no ponto 0\in E ;

4) T é Lipschitz.


Demonstração: Com efeito, tem-se que as implicações (1)\Longrightarrow (2) , (2)\Longrightarrow (3) e (4)\Longrightarrow (1) são óbvias.  Provemos a implicação (3)\Longrightarrow (4) .

Com efeito, tem-se, pela hipótese, que existe  \delta >0 tal que

\left| v \right| \leq \delta \Longrightarrow \left\| T(v)  \right\| <1 .

Dado u\in\left\{ x\in E : \left| x\right| = 1 \right\} , tem-se que \left| \delta u \right| = \delta e, então,

\delta \left\| T(u)\right\| = \left\| T( \delta u) \right\|  < 1 , donde segue que

\left\| T(u)\right\| <\frac{ 1 }{ \delta } . Isso provou que \left\{ \left\| Tx\right\| \in F:\left| x\right| =1\right\} é limitado. Denotamos L=sup\left\{ \left\| Tx\right\| \in  F:\left| x\right| =1\right\} .

Dados x,y\in E , segue que \displaystyle \left\| T  \left( \frac{x-y}{ \left| x-y\right| } \right) \right\|\leq L e, portanto,

\displaystyle \frac{1}{ \left| x-y\right| } \left\| T\left(  x-y\right) \right\| \leq L , ou seja, \left\| Tx - Ty\right\|  \leq L\left| x-y\right| .


Corolário 1.1: Sejam \left\| \cdot \right\| _1 e \left\| \cdot \right\| _2 duas normas num espaço vetorial E . Se tais normas são equivalentes, segue que as métricas provenientes dessas normas são uniformemente equivalentes. E, mais precisamente, existem \alpha, \beta > 0 tais que

\alpha \left\| u \right\| _1 \leq \left\| u \right\| _2  \leq \beta \left\| u \right\| _1 para todo u\in E .


Demonstração: Com efeito, se tais normas são equivalentes, segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot  \right\| _2 ) é um homeomorfismo. Pelo teorema precedente, id e sua inversa são lipschitzianas (em particular, id é um homeomorfismo uniforme). Isso implica que existem \alpha , \beta  > 0 tais que

\alpha \left\| x-y \right\| _1 \leq \left\| x-y \right\| _2  \leq  \beta \left\| x-y \right\| _1 para quaisquer x,y\in E .

Em particular,

\alpha \left\| x \right\| _1 \leq \left\| x \right\| _2 \leq    \beta \left\| x \right\| _1 para qualquer x\in E (bastava tomar y=0 ).



Corolário 1.3: Seja E um espaço vetorial normado. Ao trocar a norma de E por uma equivalente, seqüências convergentes são transformadas em seqüências convergentes, e seqüências de Cauchy são transformadas em seqüências de Cauchy. Em particular, se E é completo em relação a uma norma, ele será completo em relação a qualquer norma equivalente.


Demonstração: É consequência imediata do fato de métricas provenientes de normas equivalentes serem uniformemente equivalentes.



Teorema 2: Sejam E um espaço vetorial normado e \mathbb{R}^n munido da norma do máximo (ou uma equivalente). Toda aplicação linear T: \mathbb{R} ^n \to E é contínua.


Demonstração: Com efeito, tem-se que, dado u\in\mathbb{R}^n ,

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq \sum_{i=1}^n   \left|u_i\right| \left\| T(e_i)\right\|\leq \left| u \right|   \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i)\right\| ,

onde \left\{ e_1, \ldots , e_n \right\} \subset \mathbb{R}^n é a base canônica, e onde \left| u \right| é a norma (do máximo) de u em \mathbb{R}^n . Fazendo \displaystyle L= \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i) \right\| , segue que

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq L\left| u \right| .

Isso provou que \displaystyle \left\| T(v)\right\|\leq L\left|   v \right| para todo v\in\mathbb{R}^n . Portanto, isso completa a prova de que T é contínua, afinal, dados x,y\in\mathbb{R}^n , tem-se, pelo provado que

\displaystyle \left\| Tx-Ty\right\| =\left\|   T(x-y)\right\|\leq L\left| x-y \right| .



Teorema 3: Quando \mathbb{R}^n está munido de alguma norma equivalente à norma do máximo, K\subset\mathbb{R}^n é compacto se, e somente se, é limitado e fechado em \mathbb{R} ^n .


Demonstração: Se K\subset \mathbb{R}^n é fechado e limitado, dada uma seqüência em K , segue, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass (provado no outro post), que existe uma subseqüência convergente em \mathbb{R}^n . Como K é fechado, segue que essa subseqüência converge em K . Isso completou a prova de que K é compacto.

Reciprocamente, se K é compacto, segue que K é totalmente limitado (em particular, limitado) e fechado.



Leminha: Se \mathbb{R}^m está munido de uma norma equivalente à norma do máximo, segue que

\left\{ x:\left| x\right| =1 \right\} = S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto.


Demonstração: Com efeito, basta provar que S^{m-1} é fechado (afinal, S^{m-1} é obviamente limitado). Note que, dado uma seqüência convergente x_n\to L tem-se que \left| x_n\right| \to \left| L\right| . Logo se (u_n) é uma seqüência convergente de vetores em S^{m-1} , como \left| u_n\right|\to 1 , segue que a norma do limite é 1 . E, portanto, o limite está em S^{m-1} .


Teorema 4: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita m . Segue que existe um homeomorfismo linear H: \mathbb{R}^m\to E .


Demonstração: Com efeito, dada uma base \left\{u_1, \ldots ,u_m\right\} , define-se H: \mathbb{R} ^m \to E , \displaystyle H(x) = \sum_{i=1}^n x_i u_i .

H é linear. Portanto, pelo teorema 2, é contínua. Além disso, H é obviamente bijetiva. Como S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto, segue que

f: S^{m-1}\to\mathbb{R} , f(u)=\left\| H(u)\right\| ,

assume máximo e mínimo (por ser contínua). Como H é bijetiva (em particular, injetiva), segue que H(x)\neq 0 para todo x\in S^{m-1} . Portanto, o mínimo de f é um número r> 0 .

Tem-se, então, que, dado y\in\mathbb{R}^m ,

\displaystyle \left\| H\left( \frac{y}{ \left| y\right| }\right) \right\| = \frac{1}{\left| y \right| } \left\| H(y)\right\| \geq r . Disso segue que

\left\| H(y)\right\| \geq r \left| y \right| .

Isso provou a continuidade da inversa.



Corolário 4.1: Sejam E e F espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação linear T: E\to F é contínua.


Demonstração: Com efeito, pelo teorema 4, existe um homeomorfismo linear H:\mathbb{R}^m\to E (onde m é a dimensão de E ).

Tem-se que (T\circ H) : \mathbb{R}^m\to F é uma aplicação linear. Logo, pelo teorema 2, é contínua. Como H é um homemorfismo, segue que

T= (T\circ H)\circ H^{-1} é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.



Corolário 4.2: Todas normas em espaço vetorial de dimensão finita são equivalentes.


Demonstração: Com efeito, seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dadas duas normas \left\| \cdot \right\| _1 , \left\| \cdot \right\| _2 em E , segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot \right\| _2 )

e sua inversa são aplicações lineares. Portanto, pelo corolário acima, elas são contínuas e, então, as normas são equivalentes.



Observação: Da equivalência das normas em espaços vetoriais de dimensão finita, segue que, para qualquer espaço vetorial normado E de dimensão finita, valem:

1) K\subset E é compacto se, e somente se, K é limitado e fechado em E .

2) Vale o teorema de Bolzano-Weierstrass em E . Ou seja, toda seqüência limitada em E possui subseqüência convergente em E .

Teorema 5: Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é completo.


Demonstração: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita. Segue, pelo provado, que toda seqüência limitada possui subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência de Cauchy (u_n) em E , segue que ela é limitada. Portanto ela possui subseqüência convergente. Mas é fácil de verificar que, se uma seqüência de Cauchy possui uma subseqüência convergente, ela converge: portanto (u_n) converge.



Bolzano-Weierstrass em R^n

21/03/2010

Bom, eu acho que já fiz um post sobre isso. No entanto, acho que encontrei uma forma mais elegante de expor.

Será usado uma coisa fácil de provar: a topologia de \mathbb{R} ^n munido da norma do máximo é a topologia produto (a norma do máximo induz a topologia produto).

Duas normas num espaço vetorial são chamadas equivalentes, quando as métricas provenientes dessas métricas são equivalentes. Isso implica, por exemplo, que se uma seqüência num espaço vetorial é convergente numa norma específica, então ela é convergente em qualquer norma equivalente a essa norma.

Teorema (Bolzano-Weierstrass): Toda seqüência limitada de vetores em R^n (munido da norma do máximo (ou de qualquer uma equivalente)) possui uma subseqüência convergente.

Demonstração: Com efeito, faz indução sobre n . O teorema de Bolzano-Weierstrass vale para \mathbb{R} (munido da norma do máximo). Supõe-se que o teorema é verdadeiro para n-1 , ou seja, toda seqüência limitada em \mathbb{R}^{n-1} munido da norma do máximo, possui uma subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência limitada (u_m) em \mathbb{R} ^n (munido da norma do máximo), note que (v_m) é limitada em \mathbb{R}^{n-1} , onde, para cada m\in\mathbb{N} , v_m = (u_{m_1}, \ldots , u_{m_{n-1}} )

(as primeiras n-1 coordenadas de u_m ).

Como \max _{i=1}^n \left| u_{m_i}\right| \geq \max _{i=1}^{n-1} \left| u_{m_i}\right| para todo m\in\mathbb{N} , segue que (v_m) é limitada. Pela hipótese, segue que existe um conjunto infinito N_1\subset\mathbb{N} de índices tal que (v_m)_{m\in N_1} converge, portanto cada coordenada converge. Analogamente, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass na reta, existe um conjunto N_2\subset N_1 infinito de índices que torna (u_{m_n})_{m\in N_2} convergente em \mathbb{R} .

Logo tem-se que  todas as coordenadas de (u_m)_{m\in N_2} convergem, ou seja, (u_m)_{m\in N_2} converge em \mathbb{R} ^n .

CQD



Completude dos espaços vetoriais de dimensão finita

07/10/2009

Alguém (Thiago ou Henrique) já provou a equivalência das normas?

Vou esboçar alguma coisa aqui… =) =)

Bom, eu acho que ficou faltando que, dada uma norma \left\| \cdot \right\| num espaço vetorial E de dimensão finita, existe \alpha tal que  \alpha \left\| u \right\| \geq \left\| u \right\|_s para todo u\in E , onde \left\| \cdot \right\| _s é a norma da soma… A outra parte que diz que existe \beta tal que \left\| v \right\| \leq \beta \left\| v \right\|_s para todo v\in E   já foi provada…

Suponha por absurdo que não aconteça isso. Isso quer dizer que A=\left\{\frac{ \left\| u\right\| }{\left\| u\right\|_s}: u\in E\right\} é tal que inf A=0. Basta ver que, se não fosse, teríamos que, todo v\in E,

satisfaz \frac{\left\| v \right\|}{\left\| v \right\|_s}\geq k<0. Logo

\left\| v\right\|\geq k\left\|v \right\|_s (ou seja, contraria a nossa hipótese de absurdo). Logo devemos ter que inf A=0.

Como inf A=0, segue que temos uma seqüência (x_n) , onde x_n=u_n/\left\|u_n \right\|_s tal que \left\|x_n \right\|\to 0, ou seja, x_n\to 0 na norma \left\| \cdot \right\|. =)

Mas note que, na norma da soma, x_n é limitada, pois \left\|x_n \right\|=1 para todo n\in\mathbb{N}.

O teorema de Bolzano diz que, na norma da soma (assim como nas outras duas normas que já sabemos que são equivalentes a ela: a norma do máximo e na norma euclidiana), toda seqüência limitada possui uma sub convergente. Logo existe (x_{n_j}) tal que x_{n_j}\to L.

Uma subseqüência de uma seqüência convergente, converge para o mesmo ponto. Logo, na norma \left\| \right\|, x_{n_j}\to 0.

Dado \epsilon > 0 , existe n_o\in\mathbb{N} tal que

n_j>n_o implica

\left\|L-x_{n_j} \right\|_s<\epsilon /\beta (onde \beta é tal que \left\|\cdot \right\|\leq \beta\left\|\cdot \right\|_s). Logo

\left\| L-x_{n_j} \right\| \leq \left\| L-x_{n_j} \right\|_s < \epsilon / \beta

Isso quer dizer que x_{n_j} converge para L na norma \left\|\cdot \right\| . Portanto, pela unicidade do limite, L=0. ABSURDO. Pois \left\|x_{n_j} \right\|_s=1 para todo índice, portanto \left\|L \right\|_s=1 .

Diante desse absurdo, segue que inf A deve ser positivo… =D =D =D =D

Ah! Esqueci de falar sobre a completude. Quando duas normas são equivalentes, seqüências de Cauchy se tornam seq’s de Cauchy. E seq’s convergentes se tornam seq’s convergentes…

Logo, se o espaço é completo em relação a uma norma, ele é completo em relação à outra (equivalente è primeira). Como todas as normas são equivalentes em espaços vetoriais de dimensão finita, segue que basta provar que, em relação a uma dessas normas, o espaço é completo (logo é completo em relação a qualquer norma).

Pelo teorema de Bolzano, seqüências limitadas possuem sub convergente (num espaço vetorial de dim finita em relação à norma do máximo). TOda seq de Cauchy é limitada e, além disso, se possui sub convergente, ela converge.

Logo toda seq de Cauchy é convergente em relação à norma do máximo num esp. de dim finita (ou seja, o espaço vetorial de dim finita em relação à norma do máximo é completo). COmo foi observado anteriormente, isso implica que todo espaço vetorial de dim finita em relação a qualquer norma (por todas serem equivalentes) são completos…

ABRAÇO


Topologia dos espaços vetoriais normados

05/10/2009

Estou sem tempo de computador agora. Vou, então, esboçar o que o henrique me pediu…

Para provar que as normas são equivalentes, devem fazer os seguintes passos:

1)Provar que E é completo na norma do máximo (ou da soma) (ou seja, que toda seqüência de cauchy converge). Ou apenas provar o teorema de Bolzano Weierstrass.

2)Depois a prova de que todas normas são equivalentes sai tranqüilamente….

Com efeito, na norma do máximo, temos que (u_n) ser limitada implica que a seqüência das coordenadas é limitada. Como para \mathbb{R} vale o teorema  de Bolzano, segue que, para cada seqüência de coordenadas, existe uma subseqüência convergente.

Façamos assim: para a primeira coordenada, pegamos o conjunto de índices (infinito) que torna a seqüência das primeiras coordenadas convergente. A subseqüência (u_n) com índices nesse conjunto continua limitada(obviamente). Logo tomamos a seqüência das segundas coordenadas (que será limitada também). Por ser limitada, possui uma sub convergente. Tomamos os índices que torna essa sub convergente.

“Assim vai” até a n-ésima coordenada.! =)

Logo existe um subconjunto \mathbb{N}_c dos naturais (infinito) de índices tal que torna  cada uma das seqüências de coordenas convergente para um número real. Suponhamos que cada seqüência de coordenadas u_{n_i} convirja para L_i. Provemos que a seqüência nesses índices converge para o vetor de coordenadas (L_1,...,L_m).

De fato, dado \epsilon>0 , existem n_1,n_2,...,n_n\in\mathbb{N} tais que

n > n_1 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_1}-L_1|<\epsilon

n > n_2 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_2}-L_2|<\epsilon

n > n_3 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_3}-L_3|<\epsilon

.

.

.

n>n_m (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_m}-L_m|<\epsilon

Logo

n > \max \left \{ n_1, \dotsc, n_m \right \} (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_i}-L_i|<\epsilon\forall i\in\left\{1,...,m\right\}

E, em particular,

n > \max \left \{ n_1, \dotsc, n_m \right \} (em \mathbb{N}_c) implica ||u-L||<\epsilon

onde || \cdot || é a norma do máximo (desculpe a notação) e L é o vetor de coordenadas (L_1, ... ,L_m)

CQD

Bom, para provar a equivalência usando Bolzano, é mais traqüilo de que as outras demonstrações… Quem não conseguir fazer a segunda etapa pode procurar no livro “CURSO DE ANÁLISE Vol 2” ou me procurar pela UnB.

Abraço

até mais


“Topologia dos espaços vetoriais (normados) de dim finita”

25/08/2009

Oi!

Eu fiquei de provar a equivalência das normas no espaço vetorial de dimensão finita…

Em vez disso, encontrei uma boa bibliografia (tanto para isso quanto para o resto que trataremos (ou já tratamos) de espaços vetoriais de dim finita).

O livro é o ” Análise no R^n ” do Elon Lages.

Ele é fininho (e nem precisamos de todo ele). Só precisamos da parte que fala da topologia de R^n . Deve ter na biblioteca (e custa 20 reais na secretaria).

Mas tem outra bibliografia/fonte legal:

http://pt.wikibooks.org/wiki/An%C3%A1lise_rn/%C3%8Dndice

Falou