1 Séries de funções

23/09/2009

Denotamos por C(B;\mathbb{R}^d) o conjunto das funções contínuas de B\subset\mathbb{R}^p em \mathbb{R}^d, onde B é uma bola fechada (portanto, por estarmos num espaço vetorial de dimensão finita, é compacta). Temos que C(B;\mathbb{R}^d) é um espaço vetorial.

Seja \left|\cdot \right| uma norma em \mathbb{R}^d . Para podermos falar em convergência de seqüências e de séries, introduzimos uma norma em C(B, \mathbb{R}^d). Note que nem todas as normas nesse espaço vetorial são equivalentes, afinal não se trata de um espaço vetorial de dimensão finita, logo deixar explícito qual norma estamos usando é de fundamental importância.

Dado F\in C(B, \mathbb{R}^d) , definimos \displaystyle \left\|F\right\|= \max_{X\in B} \left|F(X)\right| , que está bem definido, pois B é compacto.  Resta provar isso define de fato uma norma.

Lema 1.1: A função \left\|\cdot \right\| é uma norma em C(B; \mathbb{R} ^d ) .


Demonstração:

Para provar que \left\|\cdot \right\| é uma função norma, devemos provar que ela satisfaz aos seguintes “axiomas”:

a) F\neq 0\Longrightarrow \left\|F\right\|>0 ;

b) \left\| \lambda\cdot F \right\| = \left| \lambda \right|\cdot \left\| F \right\|   ;

c) \left\|E+F\right\| \leq \left\|E\right\| + \left\| F\right\| .

Com efeito, seja F\in C(B; \mathbb{R} ^d ) uma função não nula. Segue que existe V\in B tal que F(V)\neq 0. Logo \left| F(V) \right|> 0 . E, então, segue que

\displaystyle \left\|F\right\|=\max_{X\in B} \left|F(X)\right|\geq \left| F(V) \right|>0 .

Dados \lambda\in\mathbb{R} e F\in C(B; \mathbb{R} ^d ) . Tem-se que

\displaystyle \left\| F\right\| = \max_{X\in B} \left| F(X) \right|

e temos que existe V\in B tal que \displaystyle \max_{X\in B} \left| F(X) \right|= \left| F(V)\right| .

Ou seja, \left| F(V) \right| \geq \left|F(X) \right| , \forall X\in B . E, então,

\left| \lambda \right| \left| F(V) \right| \geq \left| \lambda \right| \left|F(X) \right| , \forall X\in B .

Logo \left| \lambda F(V) \right| \geq \left| \lambda F(X) \right| , \forall X\in B . Isso provou que

\displaystyle \left\| \lambda F\right\| = \max_{X\in B} \left| \lambda F(X) \right| = \left|\lambda F(V)\right| = \left|\lambda \right| \left| F(V) \right| = \left| \lambda \right| \left\| F\right\| .

Para provar a desigualdade triangular, temos que

\displaystyle \|E\| =\max_{X\in B}{|E(X)|}=|E(U) | com U \in B ,

\displaystyle \|F\|=\max_{X\in B}{|F(X)|}=|F(V)| com V \in B e

\displaystyle \|E+F\|=\max_{X\in B}{|(E+F)(X)|}=|(E+F)(W)| com W \in B.

E, então, segue que

\left| E(U)\right|+\left| F(V)\right| \geq \left| E(X)\right| + \left| F(X)\right| \geq

\geq\left| E(X) + F(X)\right| , \forall X\in B ,

e, assim, como W \in B ,

tem-se que |E(U)|+|F(V)| \geq |(E+F)(W)| , o que equivale a

\|E\|+\|F\| \geq \|E+F\|.


Uma seqüência de vetores no espaço vetorial normado (C(B;\mathbb{R}^d), \left\| \cdot \right\|) é denotada por (F_k) . Diz-se que (F_k) converge se existe F\in C(B;\mathbb{R}^q) tal que  \left\|F_k - F\right\|\to 0 .

Dada uma seqüência (F_k) em C(B;\mathbb{R}^d) , sua série C(B;\mathbb{R}^d) é denotada por \sum F_k e converge se a seqüência das somas parciais \displaystyle S_l = \sum_{k=0}^l F_k converge em C(B;\mathbb{R}^d) . Caso (S_l) convirja, seu limite S\in C(B;\mathbb{R}^d) também é denomidado a série de (F_k) e denotado por S = \displaystyle \sum F_k. Neste caso, temos que

\displaystyle \left\| \sum F_k - \sum_{k=0}^l F_k \right\| \to 0.

Proposição 1.2: Seja (F_k) uma sequência de funções em C(B; \mathbb{R} ^d ) . Se existe uma sequência numérica (M_k) tal que a série \sum M_k é convergente e tal que \|F_k\| \leq M_k, para todo k \in \mathbb{N}, então a série \sum F_k é convergente.


Demonstração:

Dado X \in B, temos que |F_k(X)| \leq \|F\| \leq M_k e, então, pelo teste da comparação, tem-se que \displaystyle \sum |F_k(X)| converge. Definimos S(X) = \sum F_k(X) e então mostramos que

\displaystyle \left| S(X) -\sum_{k=0}^{l} F_k (X) \right| \leq \sum_{k>l} M_k,

para todo X \in B e para todo l \in \mathbb{N}. De fato, como temos que

\displaystyle \left| \sum_{k=0}^m F_k(X) - \sum_{k=0}^{l} F_k(X) \right| = \displaystyle \left| \sum_{k=l+1}^{m} F_k(X) \right|

\displaystyle \leq \sum_{k=l+1}^m \left| F_k(X) \right| \leq\sum_{k=l+1}^m M_k \leq \sum_{k>l} M_k,

o resultado segue tomando limite com \displaystyle m \to \infty.

Agora provamos que S\in C(B; \mathbb{R} ^d ) . De fato, como \sum M_k é convergente, dado \varepsilon > 0 , existe l \in\mathbb{N} tal que

\displaystyle \sum_{k>l} M_k <\frac{\varepsilon}{4} .

Temos que \displaystyle \sum_{k=0}^l F_k \in C(B; \mathbb{R}^d ) e, pela compacidade de B , existe \delta > 0 tal que

\displaystyle \left| \sum _{k=0}^l F_k (X)- \sum _{k=0}^l F_k(Y) \right|< \frac{\varepsilon } {2} ,

sempre que |X-Y|<\delta . Logo temos que

\displaystyle \left| S(X) - S(Y) \right| \leq \left| S(X) - \sum _{k=0}^l F_k (X) \right| +

\displaystyle + \left| \sum _{k=0}^l F_k (X) - \sum _{k=0}^l F_k (Y) \right| + \left| \sum _{k=0}^l F_l (Y)-S(Y)\right|

\displaystyle \leq 2\sum_{k>l} M_k + \frac{\varepsilon}{2} < 2 \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,

sempre que |X-Y|<\delta , o que prova que S é contínua.

Como temos que

\displaystyle \left| S(X) -\sum_{k=0}^{l} F_k (X) \right| \leq \sum_{k>l} M_k,

para todo X \in B e para todo l \in \mathbb{N}, segue que

\displaystyle \left\|S - \sum_{k=0}^l F_k\right\| \leq \sum_{k>l} M_k,

completando a demonstração, uma vez que \sum M_k é convergente.


Supõe-se, agora,  p=1 . Ou seja, estaremos no espaço C(B, \mathbb{R} ^d ) , onde B\subset\mathbb{R} . Id est, B é um intervalo fechado e, portanto, será denotado por I .

Uma função F: I\to \mathbb{R}^d é inteiramente determinada pelas funções coordenadas (ou seja, as funções F_1 , \ldots ,F_d : I\to \mathbb{R}^d tais que F(x)= (F_1 (x), \ldots , F_d (x) ) ). Por exemplo, a função F é contínua se, e somente se, todas suas funções coordenadas são contínuas; também, F é derivável se, e somente se, todas as funções coordenadas são deriváveis e, além disso, quando F é derivável, acontece F'(x) = (F_1' (x) , \ldots , F_d' (x) ) .

Acontece o mesmo para integração. Uma função F: I\to \mathbb{R} ^d é integrável se, e somente se, as funções coordenadas são integráveis. A primitiva de F (se houver) é a d-upla das primitivas das funções coordenadas, e a integral definida de F é a d-upla das integrais definidas de suas funções coordenadas. Ou seja,

\displaystyle\int _a ^b F ( \tau ) d\tau = \left( \int_a^b F_1 ( \tau ) d\tau , \ldots , \int_a^b F_d ( \tau ) d\tau \right) .

Note que toda função em C(I; \mathbb{R} ^d ) é integrável. Com efeito, dada F\in C(B; \mathbb{R} ^d ) é contínua, logo as funções coordenadas dessa função são contínuas. Disso segue que as funções coordenadas são integráveis e, portanto, F é integrável.

O próximo passo é provar um teorema sobre a derivada de séries de funções contínuas e deriváveis. Mas, para isso, serão enunciados dois teoremas sobre integrais definidas.

Lema 1.3: Se f \in C(I; \mathbb{R}) , então \displaystyle \left| \int_0^t f(\tau) d\tau \right| \leq \int_0^t |f(\tau)| d\tau.


Demonstração:

Segue da monotonicidade da integral e do fato de que

-|f(\tau)| \leq f(\tau) \leq |f(\tau)|.


Lema 1.4: Se F \in C(I; \mathbb{R} ^d ) , então existe c\in\mathbb{R} tal que

\displaystyle \left| \int_0^t F(\tau) d\tau \right| \leq c\int_0^t|F(\tau)| d\tau.


Demonstração: Pela equivalência entre as normas em \mathbb{R}^d, existe constantes positivas b,c \in\mathbb{R} tais que

|X| \leq b \max \{ |X_1|, \ldots , |X_d| \} \leq c |X|

onde X = (X_1, \ldots , X_d) \in \mathbb{R}^d. Seja F_i a i-ésima função coordenada de F . Temos então que

\displaystyle \left| \int_0^t F(\tau) d\tau \right| \leq b\max \left\{ \left| \int_0^t F_1(\tau) d\tau \right|, \ldots , \left| \int_0^t F_d(\tau) d\tau \right| \right\}

Pelo Lema 1.3, temos que

\displaystyle \left| \int_0^t F_i(\tau) d\tau \right| \leq \int_0^t |F_i(\tau)| d\tau,

o que implica que

\displaystyle \left| \int_0^t F(\tau) d\tau \right| \leq b \max \left\{ \int_0^t |F_1(\tau)| d\tau , \ldots , \int_0^t |F_d(\tau) |d\tau \right\}

\displaystyle = \max \left\{ \int_0^t b |F_1(\tau)| d\tau , \ldots , \int_0^t b |F_d(\tau) |d\tau \right\} \leq \int_0^t c|F(\tau)|d\tau.


Proposição 1.5Seja (F_k ) uma seqüência de funções deriváveis em C(I; \mathbb{R} ^d ) tal que (F_k ' ) também está em C(I, \mathbb{R}^d ) . Se existe uma seqüência de números reais (M_k) tal que a série \sum M_k é convergente e tal que \left\| F_k \right\| , \left\| F_k' \right\| \leq M_k , para todo k\in\mathbb{N} , então \left( \sum F_k\right)' = \sum F_k' .


Demonstração:

Pela Proposição 1.2 ,  temos que as séries \displaystyle S = \sum F_k e \displaystyle T = \sum F_k ' são ambas convergentes. Devemos Provar que S' = T .

Pela definição de convergencia de séries, temos que

\displaystyle \left\| T -\sum _{k=0}^l F_k' \right\| \to 0 , quando l \to \infty .

Para t \in I , pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se que

\displaystyle \left| \int_0^t T(\tau ) d\tau - \sum_{k=0}^l (F_k(t)-F_k(0) )\right| =

\displaystyle = \left| \int _0^t T(\tau ) d\tau - \sum _{k=0} ^l \left( \int _0 ^t F_k ' ( \tau ) d\tau \right) \right|
\displaystyle = \left| \int _0 ^t T( \tau ) d\tau - \int _0 ^t \left( \sum _{k=0} ^l F_k ' ( \tau ) \right) d \tau \right|

\displaystyle = \left| \int _0 ^t \left( T( \tau ) - \sum _{k=0} ^l F_k ' ( \tau ) \right) d \tau \right| .

Utilizando o lema precedente, existe uma constante c\in \mathbb{R} tal que

\displaystyle \left| \int_0^t T(\tau ) d\tau - \sum_{k=0}^l (F_k(t)-F_k(0) )\right| \leq

\displaystyle \leq c \int_{0}^{t} \left| T( \tau )-\displaystyle\sum_{k=0}^{l} F_k' ( \tau ) \right| d\tau

\displaystyle \leq c\left| t-0 \right| \left\| T - \sum _{k=0} ^l F_k ' \right\| \to 0

quando l\to \infty .

Portanto, pelo teorema do sanduíche, segue que

\displaystyle \left| \int_0^t T(\tau ) d\tau - \sum_{k=0}^l (F_k(t)-F_k(0) )\right| \to 0

quando l\to \infty .

Ou seja,

\displaystyle\sum \left( F_k (t) - F_k (0) \right) = \int _0^t T ( \tau ) d\tau

Isto é,

\displaystyle S(t) - S(0) = \int _0 ^t T ( \tau ) d\tau

E, pelo teorema fundamental do cálculo, isso quer dizer que S' = T .


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