3 Limites de produtos de exponeciais

24/11/2009

Fazendo uso dos resultados das seções anteriores, demonstraremos teoremas que nos será importante nos próximos trabalhos. O primeiro resultado será usado extensivamente nessa seção.

Proposição 3.1: Definem-se P(t) = e^{tX}e^{tY} , C(t) = e^{-tX}e^{-tY}e^{tX}e^{tY} , para t num intervalo real de centro 0 . Tem-se que

P(0)=C(0)= I , P'(0) = X+Y , C'(0)=0 ,

P''(0) =Y^2+2XY+X^2 ,  e C''(0) = 2[X,Y] .


Demonstração:

Tem-se que \displaystyle e^{tX} = \sum \frac{(tX)^k}{k!} . Fazendo t=0 (e substituindo na série) é fácil ver que \displaystyle e^{0X}=e^0 = I . Logo \displaystyle P(0)= I^2=I .

Tem-se que \displaystyle C(t)=P(-t)P(t) . Logo \displaystyle C(0)=P(0)P(0)=I^2=I .

Usando a regra do produto, tem-se que \displaystyle P'(t) = e^{tX}Ye^{tY} + Xe^{tX}e^{tY} , logo P'(0) =Y+X = X+Y . E, novamente, usando a regra do produto, tem-se que

\displaystyle C'(0) =T(0)P'(0) + T'(0)P(0) , onde \displaystyle T(t)=P(-t)=e^{-tX}e^{-tY}=e^{t(-X)}e^{t(-Y)}

É fácil verificar, pela regra do produto, que \displaystyle T'(0) = -Y-X .

E, portanto,

\displaystyle C'(0)=(X+Y)+(-Y-X)=0 .

Temos que \displaystyle P''(t)=e^{tX}Y^2 e^{tY} + Xe^{tX}Ye^{tY} + Xe^{tX}Ye^{tY}+X^2e^{tX}e^{tY} ,

donde segue que \displaystyle P''(0)=Y^2+2XY+X^2 .

Da mesma forma, tem-se que \displaystyle T''(0)=Y^2+2XY+X^2 .

\displaystyle C''(0)=T(0)P''(0)+T'(0)P'(0)+T'(0)P'(0)+T''(0)P(0)

\displaystyle =T(0)P''(0)+2T'(0)P'(0)+T''(0)P(0) =

\displaystyle (Y^2+2XY+X^2)+2(-X-Y)(X+Y)+ (Y^2+2XY+X^2)

\displaystyle =2XY-2YX = 2[X,Y] .


Pelo teorema da função inversa, por a derivada da exponencial E:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}^{n^2} na origem ser a identidade (portanto, um isomorfismo), segue que \displaystyle E é um difeomorfismo de uma vizinhança \displaystyle V da origem com uma vizinhança U de E(0)=I .

Assim, podemos defnir Q(t)=E^{-1}(P(t)) para uma vizinhança de 0 nos reais tal que P(t)\in U para t nessa vizinhança. Da mesma forma, definimos B(t)= E^{-1}(C(t)) para t numa vizinhança de 0 nos reais tal que B(t)\in U . O fato de esses intervalos de centro 0 satisfazendo essas hipóteses existirem vem diretamente do fato de P e C serem contínuas.

Note, então, que E(Q(t))=P(t) e, também, que E(B(t))=C(t) .

Proposição 3.2: Temos que Q(0) = B(0)=0 , B'(0)=0 e Q'(0) = X+Y . Além disso,

\displaystyle\lim _{t\to 0}\frac{Q(t)}{t} = X+Y , e

\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{B(t)}{t^2}=[X,Y] .


Demonstração:

Tem-se que E(Q(0))=P(0)= I , e que E(B(0))=C(0)= I . Pela injetividade da exponencial, segue que

E(Q(0))=E(B(0)) = I =E(0) implica que Q(0)= B(0)=0 .

Pela regra da cadeia, tem-se que

C'(0)= E'(B(0))B'(0) = E'(0)B'(0)=B'(0) . Portanto, pela proposição precedente, segue que

B'(0)=C'(0)=0 .

Pela fórmula de Taylor,

\displaystyle C(t)= I +tC'(0)+ \frac{t^2}{2} C''(0) + R(t^2)

\displaystyle =I + \frac{t^2}{2} (2[X,Y])+ R(t^2) = I + t^2[X,Y]+ R(t^2) ,

onde \displaystyle\lim_{t\to 0} \frac { R(t^2)}{t^2} = 0 .

Logo \displaystyle \frac{1}{t^2}(C(t)-I) = [X,Y]+ \frac{R(t^2)}{t^2} e, então,

\displaystyle \lim _{t\to 0}\left(\frac{1}{t^2}(C(t)-I)\right) = \lim _{t\to 0}\left([X,Y]+ \frac{R(t^2)}{t^2}\right)=[X,Y] .

Temos, também, que

\displaystyle B(t)=B(0)+B'(0) t + r(t) , onde \displaystyle\lim _{t\to 0}\frac{r(t)}{t}=0 . Como B(0)=B'(0)=0 , tem-se que

\displaystyle \lim _{t\to 0} \frac{B(t)}{t} = \lim _{t\to 0} \frac{r(t)}{t} = 0 .

Por outro lado,

\displaystyle\frac{1}{t^2} \left( C(t) - I \right) =

\displaystyle\frac{1}{t^2}\left( E(B(t)) - I \right) =\frac{1}{t^2}\left( B(t)+ \sum _ {k\geq 2}\frac{B(t)^k}{k!}\right) =

\displaystyle = \frac{B(t)}{t^2} + \left( \frac{B(t)^2}{t^2} \right) \sum _{k\geq 2}\frac{B(t)^{k-2}}{k!} .

É fácil verificar que \displaystyle \left( \sum _{k\geq 2}\frac{B(t)^{k-2}}{k!}\right) é contínua, logo

\displaystyle\lim _ {t\to 0} \left( \sum _{k\geq 2}\frac{B(t)^{k-2}}{k!} \right) = \frac{I}{2} .

Como

\displaystyle\lim _{t\to 0}\frac{B(t)^2}{t^2}= \lim _{t\to 0}\left( \frac{B(t)}{t}\right)^2 =

\displaystyle = \left( \lim _ {t\to 0} \frac{B(t)}{t} \right) ^2 = 0^2 =0 ,

segue que

\displaystyle \lim_{t\to 0} \left( \frac{1}{t^2} \left( C(t)-I\right) \right) = \lim_{t\to 0} \left( \frac{1}{t^2} \left( E(B(t))-I\right) \right) =

\displaystyle \lim _{t\to 0} \frac{B(t)}{t^2} + \lim _{t\to 0} \left(\frac{B(t)^2}{t^2}\sum _{k\geq 2}\frac{B(t)^{k-2}}{k!}\right) =

\displaystyle = \lim _ {t\to 0} \frac{B(t)}{t^2}

Isso provou que

\displaystyle\lim _ {t\to 0} \frac{B(t)}{t^2}=\lim_{t\to 0} \left( \frac{1}{t^2} \left( C(t)-I\right) \right) = [X,Y]

Temos, pela regra da cadeia, que

P'(0)=E'(Q(0))Q'(0) , logo

P'(0)=E'(0)Q'(0)=Q'(0) .

Pela primeira proposção,  tem-se que P'(0)= X+ Y .  Portanto Q'(0)=X+Y .

Pela definição de derivada, tem-se que

\displaystyle Q(t)= Q(0)+ Q'(0)t + r(t) = 0+t(X+Y) + r(t) , onde \displaystyle \lim _ {t\to 0} \frac{r(t)}{t} = 0 .

Logo \displaystyle\lim _{t\to 0} \frac{Q(t)}{t} = X+ Y .


A próxima proposição será de extrema importância nas próximas etapas do trabalho.

Proposição 3.3:  Temos que

\displaystyle e^{X+Y}=\lim_{k \to \infty}P\left(\frac{1}{k} \right)^k

\displaystyle e^{[X,Y]}=\lim_{k \to \infty} C\left( \frac{1}{k} \right)^{k^2}.


Demonstração:

Tem-se que \displaystyle X+Y = \lim _{t\to 0} \frac{Q(t)}{t} , pelo resultado anterior.

\displaystyle e^{X+Y}= e^{ \lim_{t \to 0} \frac {Q(t)}{t}} = e^ {\lim_{k \to \infty} k Q(\frac{1}{k})}

\displaystyle =\lim_{k \to \infty} ( e^{k Q(1/k)}) = \lim _{k\to\infty} \left( e^{Q(1/k)} \right)^k =

\displaystyle = \lim_{k \to \infty} P \left(\frac{1}{k}\right) ^{k}

De maneira análoga, tem-se que

\displaystyle [X,Y] = \lim _{t\to 0} \frac{B(t)}{t^2}

\displaystyle e^{ [X,Y] } = e^{ \lim _{t \to 0 } \frac{B(t)}{t^2} } = e^{ \lim_{k \to \infty }B( \frac{1}{k} )k^2 }

\displaystyle = \lim_{ k \to \infty }e^{ B(\frac{1}{k})k^2} = \lim_{k \to \infty } \left( e^{B(\frac{1}{k})}\right) ^{k^2} =

\displaystyle = \lim_{k \to \infty}C \left( \frac{1}{k} \right) ^{k^2}


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