Funcional de Minkowski

Neste post, vamos tratar apenas os espaços vetoriais reais.

Em análise funcional, o teorema de extensão de Hahn-Banach é uma ferramenta que nos garante a existência de uma gama de funcionais lineares em um espaço de Banach. Na verdade, vamos mostrar que não precisamos que o espaço seja de Banach. Em geral, estamos considerando um espaço vetorial topológico. Que é simplesmente um espaço vetorial dotado de uma topologia de Hausdorff (dependendo do autor a topologia não precisa ser Hausdorff) onde as operações do espaço vetorial são contínuas. Vamos então, fazer algumas observações sobre os espaços vetoriais topológicos. Nosso objetivo final é esclarecer o papel desempenhado pelo chamado funcional de Minkowski.

Definição: Um espaço vetorial $X$ dotado de uma topologia de Hausdorff $\tau$ é um espaço vetorial topológico quando as operações $(x,y) \mapsto x+y$ e $(\alpha,x) \mapsto \alpha x$ , onde $\alpha \in \mathbb{R}$ e $x,y \in X$ são contínuas quando consideramos a topologia produto nos espaços $\mathbb{R} \times X$ e $X \times X$ .

Proposição: Seja $(X, \tau)$ um espaço vetorial topológico. Então,
1. Para todo $\alpha \neq 0$ , $x \mapsto \alpha x$ é um homeomorfismo.
2. Para todo $a \in X$ , $x \mapsto x+a$ é um homeomorfismo.

Demonstração:
As aplicações, além de contínuas, são inversíveis e suas inversas são contínuas. (Não falei nada além da definição de homeomorfismo aqui! :-P)

O item 2 da proposição acima mostra que a topologia $\tau$ é completamente determinada se conhecermos o sistema de vizinhanças de um ponto. Claro que na maioria das vezes, esse ponto será o $0$ . Ou seja, se $V(0)$ for a família de todas as vizinhanças da origem, então $x + V(0)$ será a família de todas as vizinhanças de $x$ . De modo mais conciso: $V(x) = x + V(0)$ . Observe que essa afirmação não considera o produto por escalar, e portanto vale para grupos topológicos em geral.

No caso de espaços vetoriais normados, bastava conhecermos uma vizinhança limitada de um ponto $x$ para determinarmos todas as vizinhanças de $x$ . De fato, fica como exercício completar o argumento, mas se $U$ é uma vizinhança limitada de $x$ , então $V = U - x$ é uma vizinhança limitada de $0$ e $\frac{1}{n}V$ é uma base de vizinhanças para $V(0)$ . Este não é o caso para espaços vetoriais topológicos em geral. No entanto, mostramos a seguir, uma construção parecida.

Construção: Sejam $X$ um espaço vetorial e $V \subset X$ que contenha a origem. Podemos construir a menor topologia em $X$ tal que $V$ seja vizinhança da origem e as operações do espaço vetorial sejam contínuas. De fato, basta fazer de $x + \frac{1}{n}V$ uma base para $V(x)$ . Não fosse pela falta de garantia de que esse espaço é de Hausdorff, teríamos um espaço vetorial topológico. Essa construção é útil, pois muito do que demonstramos para espaços vetoriais topológicos não exige o axioma de separação de Hausdorff. Poderíamos também, estender esta construção para uma família $V_\lambda$ que contenha $0$ .

As duas formas mais conhecidas do teorema de extensão — deve haver mais 😉 — são as chamadas forma analítica e forma geométrica. A forma analítica se utiliza do chamado funcional de Minkowski, e a geométrica de subconjuntos convexos. O funcional de Minkowski fornece um certo controle sobre a extensão que será construída. Alguns exemplos de restrições que podemos querer impor à extensão de um funcional linear $f$ definido em um sub-espaço de $X$ :
1. Se $X$ é um espaço normado, podemos querer estender $f$ a $\tilde{f}$ , de modo que $\|f\| = \|\tilde{f}\|$ .
2. Dados dois pontos $x,y$ , podemos querer um funcional linear $f$ que separe ambos. Ou seja, $f(x) \neq f(y)$ .
3. Dados dois sub-conjuntos $A,B$ , podemos querer, se possível, um funcional linear $f$ que separe ambos. Ou seja, tal que $\sup f(A) \leq \inf f(B)$ .
4. Se $(X, \tau)$ é um espaço vetorial topológico, podemos querer que a extensão seja contínua.

O item 1 é o mais simples. Já temos que $f$ satisfaz $|f(x)| \leq \|f\| \|x\|$ . O lado direito é o caso mais simples de funcional de Minkowski.

Para o item 4, note que assim como fizemos em um post anterior, para que um funcional linear seja contínuo basta que a imagem inversa de algum conjunto limitado tenha interior.

Definição: Dado um espaço vetorial $X$ , um funcional de Minkowski é uma aplicação $m: X \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfaz:
1. Para todo $\alpha \geq 0$ , $m(\alpha x) = \alpha m(x)$ .
2. Desigualdade triangular: $m(x+y) \leq m(x) + m(y)$ .

Ao contrário de uma norma, o funcional de Minkowski pode ser negativo! Por exemplo, todo funcional linear é um funcional de Minkowski. Mas em todas as aplicações que eu já vi, o funcional de Minkowski é positivo. Em muitas ocasiões, o funcional de Minkowski será simplesmente uma semi-norma. Um exemplo de uma semi-norma: o valor absoluto de um funcional linear $f$ . Ou seja, $m(x) = |f(x)|$ .

Antes de falar mais sobre o funcional de Minkowski, vamos enunciar a forma analítica do teorema de extensão.

Teorema (extensão de Hanh-Banach — forma analítica): Sejam $X$ um espaço vetorial, $Y \subset X$ um subespaço, $f: Y \rightarrow \mathbb{R}$ um funcional linear e $m: X \rightarrow \mathbb{R}$ um funcional de Minkowski tais que $f \leq m|_Y$ . Então existe um funcional linear $\tilde{f}: X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\tilde{f}|_Y = f$ e $\tilde{f} \leq m$ .

A demonstração usa o lema de Zorn associado ao fato de que se $x \not \in Y$ podemos sempre extender $f$ ao espaço gerado por $Y$ e $x$ .

É interessante notar que o teorema não faz referência direta a nenhuma topologia em $X$ . No entanto, se $m \geq 0$ , então o fato de $f \leq m$ implica que $f$ é contínuo na topologia construída, conforme mencionado anteriormente, a partir do conjunto convexo $V = \{ x \in X: m(x) < 1 \}$ . Em particular, se $(X, \tau)$ for um espaço vetorial topológico e $V \in \tau$ , então $f$ será um funcional contínuo, pois $f^{-1}(-1,1)$ conterá $V$ que possui interior. (veja diversas caracterizações de continuidade aqui.)

O parágrafo anterior sugere uma relação entre os funcionais de Minkowski e os conjuntos convexos abertos que contém a origem. O fato, que nos levará à versão geométrica do teorema, é que dado um conjunto convexo aberto $V$ , vizinhança da origem de um espaço vetorial topológico $(X, \tau)$ , podemos construir um funcional de Minkowski $m_V$ , tal que $V = \{ x \in X: m_V(x) < 1 \}$ . Pelas observações do parágrafo anterior, qualquer funcional linear $f$ que satisfaça $f \leq m_V$ será contínuo com relação a $\tau$ . Novamente, não precisamos em momento algum que a topologia seja gerada por uma norma!

Proposição: Seja $(X, \tau)$ um espaço vetorial topológico e $V \in V(0)$ aberto e convexo. Então, a função $m_V(x) = \inf \{ s \in \mathbb{R_+}: x \in sV \}$ é um funcional de Minkowski. Também vale que $V = \{ x \in X: m_V(x) < 1 \}$ .

Demonstração: Como $V$ tem interior, sabemos que para todo $x \in X$ , existe $s$ tal que $x \in sV$ . Portanto, para todo $x \in X$ temos que $m_V(x) < \infty$ . (Desafio: Demonstre a primeira afirmação! Lembre-se que $X$ não é um espaço normado. Dica: A continuidade do produto por escalar implica que $\frac{1}{n}x \rightarrow 0$ .)

Se $\alpha \geq 0$ , então, $x \in sV \Leftrightarrow \alpha x \in \alpha s V$ . Portanto, $m_V(\alpha x) = \alpha m_V(x)$ . (Pergunta: onde foi usado que $\alpha \geq 0$ ?)

Para a desigualdade triangular, note que se $x \in sV$ e $y \in tV$ , então $x+y \in sV + tV$ . Em geral, $(s+t)V \subset sV + tV$ . Mas pode ser que $sV + tV \not \subset (s+t)V$ . No entanto, como $V$ é convexo, temos que para $s,t \geq 0$ , $sV + tV = (s+t)\left(\frac{s}{s+t}V + \frac{t}{s+t}V\right) = (s+t)V$ .

A última afirmação é imediata. Note que precisamos que $V$ seja aberto apenas para essa última afirmação. Para que $m_V$ seja um funcional de Minkowski, bastava que $V \in V(0)$ . Neste caso, teríamos $V \subset \{ x \in X: m_V(x) \leq 1 \}$ .

Se aplicarmos a forma analítica do teorema da extensão para um espaço vetorial topológico $X$ , utilizando como funcional de Minkowski $m_V$ para alguma vizinhança convexa da origem (se é que existe uma), teremos que o funcional linear resultante $\tilde{f}$ será contínuo, haja visto que $f \leq m_V$ implica que $V \subset \tilde{f}^{-1}[-1,1]$ . Ou seja, $\tilde{f}^{-1}[-1,1]$ é vizinhança da origem. Novamente, enfatizamos, que a topologia em $X$ pode não ser dada por uma norma. Basta que $X$ seja um espaço vetorial topológico. (Nem mesmo precisa ser Hausdorff.)

Teorema (extensão de Hanh-Banach — forma geométrica): Sejam $X$ um espaço vetorial topológico e $A,B \subset X$ convexos e disjuntos, com $A$ aberto. Então existe um número real $\gamma$ e um funcional linear $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ tais que $f(x) < \gamma \leq f(y)$ para todo $x \in A$ e $y \in B$ .

Demonstração:
Tome $a \in A$ e $b \in B$ e faça $z = b-a$ .

Afirmação 1: O conjunto $V = A - B + z$ é uma vizinhança convexa e aberta da origem.

Soma de convexos dá um conjunto convexo. Produto por escalar e translação de convexos também dá um conjunto convexo. Como $-z = a-b \in A-B$ , temos que $0 = -z + z \in V$ . Para ver que $V$ é aberto, basta notar que é uma união de abertos: $V = \bigcup_{y \in B}(A - y + z)$ .

Agora, pela afirmação 1, podemos considerar o funcional de Minkowski $m_V$ .

Afirmação 2: $m_V(z) \geq 1$ .

Basta notar que como $A \cap B = \emptyset$ , então $0 \not \in A-B$ . Portanto, $z \not \in A-B+z = V$ . No entanto, sabemos que $m_V(x) < 1 \Leftrightarrow x \in V$ .

Defina então, $f(\alpha z) = \alpha$ .

Afirmação 3: $f \leq m_V$ .

De fato, pela afirmação 2, para $\alpha \geq 0$ , $f(\alpha z) = \alpha \leq m_V(\alpha z)$ ; e para $\alpha < 0$ , $f(\alpha z) = \alpha < 0 \leq m_V$ .

Então, pela versão analítica do teorema de extensão, existe $\tilde{f}: X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\tilde{f}(z) = 1$ e $\tilde{f} \leq m_V$ . Resta agora mostrar que somos sortudos o suficiente para que $\tilde{f}$ seja exatamente o funcional que estamos procurando.

Afirmação 4: $\sup \tilde{f}(A) \leq \inf \tilde{f}(B)$ .

Note que para $x \in A$ e $y \in B$ , como $x-y+z \in V$ , temos que $\tilde{f}(x-y+z) \leq m_V(x-y+z) < 1$ . Assim, $\tilde{f}(x) - \tilde{f}(y) + 1 < 1$ . Ou seja, $\tilde{f}(x) < \tilde{f}(y)$ .

Faça então $\gamma = \sup \tilde{f}(A)$ . Resta então mostrar que para nenhum $x \in A$ podemos ter $\tilde{f}(x) = \gamma$ .

Afirmação 5: O conjunto $\tilde{f}(A)$ não possui máximo.

Seja $x \in A$ . Pela continuidade do produto por escalar e da soma, como $A$ é aberto, existe $\varepsilon > 0$ tal que $x + \varepsilon z \in A$ . Assim, $\tilde{f}(x + \varepsilon z) = \tilde{f}(x) + \varepsilon \in \tilde{f}(A)$ . Ou seja, $x$ não é ponto de máximo.

Uma coisa que fica faltando, é mostrar a importância de se considerar espaços vetoriais topológicos de um modo geral, ao invés de considerar somente os espaços normados. Os espaços vetoriais normados podem ser dotados de outras topologias, como a topologia fraca induzida pelo espaço dual; ou, também, no caso do dual, a topologia fraca-*, induzida pela identificação natural do espaço normado como um subespaço do seu bi-dual. Em particular, o dual de um espaço normado possui ao menos três topologias importantes (que podem coincidir): a topologia da norma de operadores, a topologia induzida pelo bi-dual (topologia fraca) e a topologia fraca-*.

Por exemplo, seja $X$ um espaço normado. Pela forma geométrica do teorema de extensão, é evidente que dados dois conjuntos convexos $A,B \subset X^*$ disjuntos, onde $A$ é aberto, podem ser separados por um elemento do espaço bi-dual. No entanto, é verdade que podem ser separados por um elemento $x \in X$ ? A resposta é afirmativa no caso de $A$ ser aberto na topologia fraco-*.

Proposição: Seja $X$ um espaço normado e $A,B \subset X^*$ dois subconjuntos do espaço dual. Se $A$ é fraco-* aberto, então existem $\gamma \in \mathbb{R}$ e $x \in X$ tais que para todo $\phi \in A$ e todo $\psi \in B$ , $\phi(x) < \gamma \leq \psi(x)$ .

Demonstração:
Sabemos que existem $\gamma \in \mathbb{R}$ e um elemento $J \in X^{**}$ que é contínuo na topologia fraco-* e que para todo $\phi \in A$ e todo $\psi \in B$ , satisfaz $J(\phi) < \gamma \leq J(\psi)$ .

Não é difícil mostrar, mas não faremos aqui porque o negócio já tá muito longo, que todo elemento $J \in X^{**}$ que é fraco-* contínuo, é da forma $J_x: \phi \mapsto \phi(x)$ , o que concluí a demonstração.

Observação:
Onde eu vi, $m_V$ era definido como ínfimo dentre os $s \in \mathbb{R_+}$ tais que $s^{-1}x \in V$ . Eu achei que fazer $x \in sV$ é bem mais visual por causa da imagem do conjunto $V$ crescendo (ou encolhendo) para conter (e ainda assim, contendo) $x$ .

Fonte: Analysis Now de Gert K. Pedersen.

This entry was posted on 0, 5 de fevereiro de 2010 at 0:32 and is filed under Análise Funcional. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

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