Teorema de Tychonoff e o tal Alexander — parte 2: caso geral

Esse post demorou a sair porque minha “quase demonstração” para o teorema de Alexander não funcionou! 😦
Aí eu peguei da Wikipedia. 🙂

Continuando o post anterior, vamos (tentar) obter o caso geral do teorema de Tychonoff. O primeiro passo é definir o que seria a topologia produto para uma coleção $(X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda$ de espaços topológicos. Vamos usar $X$ para representar o conjunto dado pelo produto cartesiano de $X_\lambda$ . E vamos convencionar que $\pi_\lambda: X \rightarrow X_\lambda$ é a projeção natural.

Em um primeiro momento, pode-se argumentar que o mais “natural” seria definir a topologia produto como sendo aquela gerada pela família $\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda$ . Certamente que foi isso o que eu pensei da primeira vez que me deparei com o problema. Essa é uma topologia possível, mas no entanto parece não ser tão fácil de descrever suas propriedades em termos das componentes $X_\lambda$ .

Por exemplo, dada uma sequência (ou rede) $x_n = (x_{\lambda n})_{\lambda \in \Lambda} \in X$ , como podemos dizer — baseado nas coordenadas $x_{\lambda n}$ — quando é que $x_n$ é convergente? Analogamente, quando é que uma função $f: Y \rightarrow X$ é contínua nesta topologia?

A facilidade de se fazer essa conexão entre o comportamento do produto e o comportamento de cada coordenada individualmente é a essência da topologia produto.

Definição: A topologia produto é a topologia mais fraca tal que todas as projeções $\pi_\lambda$ são contínuas.

Observações:
1. A topologia produto é portanto gerada pelos conjuntos da forma $\pi_\lambda^{-1}(A_\lambda)$ , com $A_\lambda \in \tau_\lambda$ .

2. A topologia produto pode ser caracterizada através de redes: Se $x_\gamma = (x_{\lambda \gamma})$ , então $x_\gamma \rightarrow (x_\lambda)$ se, e somente se, para todo $\lambda \in \Lambda$ , $x_{\lambda \gamma} \rightarrow x_\lambda$ .

3. A topologia produto é, no caso infinito, estritamente mais fraca que a topologia gerada pela família $\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda, A_\lambda \in \tau_\lambda$ .

4. A topologia produto apresentada acima coincide, no caso finito, com a topologia produto definida no post anterior.

A observação 2 não foi demonstrada porque para isso precisaríamos definir com precisão o conceito de redes e elaborar caracterizações de fenômenos topológicos em termos deste novo conceito.

Vamos apresentar um exemplo que pode ajudar a convencer o leitor de que o conceito de topologia produto não é tão artificial quanto parece.

Exemplo 1: (topologia da convergência ponto-a-ponto)
Dado um conjunto $X$ e um espaço topológico $Y$ , seja $\mathcal{F} = \{ f: X \rightarrow Y \}$ a família de todas as aplicações de $X$ para $Y$ . O conjunto $\mathcal{F}$ pode ser identificado com $Y^X = \prod_{x \in X} Y$ , onde $f \in \mathcal{F}$ é representado em $Y^X$ através das coordenadas $\pi_x(f) = f(x)$ .

Na topologia produto, dizer que $f_\gamma \rightarrow f$ , é o mesmo que dizer, pela observação 2, que para cada $x \in X$ , $f_\gamma(x) \rightarrow f(x)$ . Ou seja, é o mesmo que dizer que $f_\gamma$ converge ponto-a-ponto para $f$ .

Pelo teorema de Tychonoff (que ainda vamos demonstrar), temos que se $Y$ for compacto, então $\mathcal{F}$ , com a topologia produto (convergência de redes ponto-a-ponto) será também compacto.

Usando uma construção análoga para o espaço bi-dual $E^{**}$ de um espaço de Banach $E$ , é demonstrada a compacidade da bola fechada na topologia fraca-*.

Exemplo 2: (continuidade)
Seja $Z$ um espaço topológico. Então uma função $f: Z \rightarrow X$ será contínua se, e somente se, $\pi_\lambda \circ f$ for contínua para todo $\lambda \in \Lambda$ .

A demonstração disso é assim: se lembra que no post anterior foi comentado que dada uma sub-base para a topologia de $X$ , para que $f$ seja contínua, basta que a imagem inversa de cada elemento da sub-base seja aberto? Pois bem… neste caso, a sub-base é dada pelos conjuntos da forma $\pi_\lambda^{-1}(A), A \in \tau_\lambda$ .

Ou seja, $f$ é contínua se, e somente se, para todo $\lambda \in \Lambda$ e $A \in \tau_\lambda$ , $(\pi_\lambda \circ f)^{-1}(A) = f^{-1}(\pi_\lambda^{-1}(A))$ for aberto. Ou seja, exatamente quando $\pi_\lambda \circ f$ for contínua para todo $\lambda \in \Lambda$ .

O leitor fica convidado (intimado!) a procurar e analisar outras demonstrações desse fato para perceber como a consciência do palpel exercido pela sub-base torna a demonstração mais simples.

Vamos então anunciar o teorema de Alexander e mostrar como ele leva à demonstração do teorema de Tychonoff.

Teorema: (Alexander) Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico e $\mathcal{C}$ uma sub-base para $\tau$ . Então, para que $X$ seja compacto é suficiente (e necessário) que toda cobertura de $X$ por elementos de $\mathcal{C}$ possua uma sub-cobertura finita.

Demonstração: (ao final do post).

Teorema: (Tychonoff) Seja $(X_\lambda, \tau_\lambda), \lambda \in \Lambda$ uma coleção de espaços topológicos compactos. Então, $X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$ é compacto na topologia produto.

Demonstração:
Pelo teorema de Alexander, basta mostrar que toda cobertura de $X$ da forma $B_\gamma = \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma$ possui uma sub-cobertura finita. Vamos particionar $\Gamma$ da seguinte maneira: defina $\Gamma_\lambda = \{ \gamma \in \Gamma: \lambda(\gamma) = \lambda \}$ . Para cada $\lambda$ , faça $A_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma$ .

Suponha — para obter uma contradição — que para todo $\lambda$ , a família $A_\gamma, \gamma \in \Gamma_\lambda$ não cobre $X_\lambda$ , ou seja, $A_\lambda \neq X_\lambda$ . Neste caso, para cada $\lambda \in \Lambda$ , existe $x_\lambda \in X_\lambda \setminus A_\lambda$ . Portanto, fazendo $x = (x_\lambda)$ , para todo $\gamma \in \Gamma$ , $x \not \in \pi_{\lambda(\gamma)}^{-1}(A_\gamma)$ .

Ou seja, $\Gamma$ não daria uma cobertura para $X$ . Portanto, existe $\lambda$ tal que $X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma_\lambda} A_\gamma$ . Pela compacidade de $X_\lambda$ , sabemos que existe um subconjunto finito $\Gamma' \subset \Gamma_\lambda \subset \Gamma$ tal que $X_\lambda = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} A_\gamma$ . E portanto, $X = \pi_\lambda(X_\lambda) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma'} \pi_\lambda^{-1}(A_\gamma)$ . Ou seja, $\pi_\lambda^{-1}(A_\gamma), \gamma \in \Gamma'$ é uma sub-cobertura finita.

No teorema acima usamos o axioma da escolha para escolher $x_\lambda \not \in A_\lambda$ . Para a demonstração do teorema de Alexander utilizaremos o lema de Zorn.

Demonstração do Teorema de Alexander:
Suponha que $(X, \tau)$ não seja compacto. Então, pelo lema 1 do post anterior, a coleção $\mathcal{F}$ de todas as coberturas abertas de $X$ por elementos de $\beta(\mathcal{C})$ sem sub-cobertura finita não é vazia. Lembre-se que $\beta(\mathcal{C})$ são os conjuntos da forma $A_1 \cap \dotsb \cap A_n$ , com $A_j \in \mathcal{C}$ .

Afirmação 1: A coleção $\mathcal{F}$ possui um elemento maximal $\Gamma_m$ .

Pelo lema de Zorn, basta mostrar que para todo subconjunto não-vazio $\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}$ totalmente ordenado, $\Gamma = \bigcup_{\Gamma' \in \mathcal{F}'} \Gamma'$ é um elemento de $\mathcal{F}$ . De fato, $\Gamma$ , por conter uma cobertura de $X$ é também uma cobertura de $X$ . Resta então mostrar que $\Gamma$ não possui sub-cobertura finita. Se $A_1, \dotsc, A_n$ fosse uma subcobertura finita de $\Gamma$ , então existiria $\Gamma' \in \mathcal{F}'$ tal que $A_j \in \Gamma'$ para todo $j = 1, \dotsc, n$ . Ou seja, $A_1, \dotsc, A_n$ seria uma sub-cobertura finita de $\Gamma'$ , contrariando a definição de $\mathcal{F}'$ .

O fato de $\Gamma_m$ ser maximal, implica que se $A \not \in \Gamma_m$ for aberto, então $\{A\} \cup \Gamma_m$ possui uma sub-cobertura finita.

Afirmação 2: A família $\mathcal{C}_m = \mathcal{C} \cap \Gamma_m$ não cobre $X$ .

Caso contrário, por hipótese, possuiria uma sub-cobertura finita. Esta, por sua vez, também seria sub-cobertura finita de $\Gamma_m$ .

Pela afirmação 2, existe $x \in X$ que não é coberto por $\mathcal{C}_m$ . Como $\Gamma_m$ cobre $X$ , existe $A_x = A_1 \cap \dotsc \cap A_n \in \Gamma_m$ , com $A_j \in \mathcal{C}$ , tal que $x \in A_x$ .

Afirmação 3: Nenhum dos $A_j$ pertence a $\Gamma_m$ .

Caso contrário, teríamos $x \in A_j \in \mathcal{C} \cap \Gamma_m$ , contrariando a escolha de $x$ .

Pela afirmação 3, para cada $j = 1, \dotsc, n$ , as coberturas $\{A_j\} \cup \Gamma_m$ são estritamente maiores que $\Gamma_m$ e portanto possuem sub-cobertura finita $\{A_j\} \cup \Gamma_j$ , com $\Gamma_j \subset \Gamma_m$ . Assim, $X = A_j \cup \bigcup_{A \in \Gamma_j} A$ .

Fazendo $\tilde{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^n \Gamma_j$ , é fácil verificar que $X = A_x \cup \bigcup_{A \in \tilde{\Gamma}} A$ . Ou seja, $\{A_x\} \cup \tilde{\Gamma}$ é uma sub-cobertura finita de $\Gamma_m$ .

Observações:
1. A notação tá muito ruim! 😦

2. A demonstração da afirmação 1 é muito parecida com a demonstração de que todo espaço vetorial possui uma base. Uma base é um conjunto maximal dentre os conjuntos linearmente independentes. Na demonstração da afirmação 1 utilizamos o fato de que a união crescente de famílias que não possuem sub-cobertura finita também não possui sub-cobertura finita. Do mesmo modo, a união crescente de conjuntos linearmente independentes é um conjunto linearmente independente. É interessante observar o papel da palavra finito. Note que um conjunto linearmente independente é aquele que não possui sub-conjuntos finitos linearmente dependentes. Assim como as coberturas de $\mathcal{F}$ são aquelas que não possuem sub-coberturas finitas!!

3. Foi preciso usar que $\mathcal{C}$ é uma sub-base apenas para que $A_x$ fosse uma interseção finita de conjuntos de $\mathcal{C}$ . Assim, $\tilde{\Gamma}$ pôde ser escrito como uma união finita de conjuntos finitos.

This entry was posted on 0, 29 de janeiro de 2010 at 15:12 and is filed under Topologia. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

4 Responses to Teorema de Tychonoff e o tal Alexander — parte 2: caso geral

Homeomorfismo do Produto « Teoria de Lie e Dinâmica disse:

02/07/2010 às 17:09

[…] topológicos, é importante relembrar a definição de topologia produto. E, para isso, há um post muito bem escrito pelo […]

Responder
Lucatelli disse:

02/07/2010 às 21:09

Eu acrescentei uma TAG no post de “Topologia Produto”. Eu estou tentando usar melhor essas TAG’s nos meus posts. Isso porque vi que você usa bem melhor que eu. 🙂
E eu estava usando pouco mesmo…

Nesse processo de colocar mais TAG’s, eu coloquei uma TAG “Topologia Produto” no meu post. Mas, para eu colocá-la no meu post, achei que seria razoável colocar nesse post também (que é o principal post de topologia produto).

Aliás, ainda estou devendo um post sobre Teorema de Tychonoff com redes. E um post sobre topologia compacto-aberta (mais completo que o que eu já fiz).

Valeu,
Abração

P.s.: Não coloquei a TAG “Topologia Produto” no seu outro post de Tychonoff. Isso porque não sabia se você iria querer manter a TAG “Topologia Produto” neste post. Ou seja, se você não gostar, é só precisamos tirar deste post. Se você gostar, precisamos colocar a TAG no outro.

Responder
- André Caldas disse:
  
  03/07/2010 às 9:37
  
  Muito muito boa iniciativa!! 🙂
  
  Os TAGs vão começar a fazer sentido se utilizarmos bastante. Pode colocar nos meus posts sim.
  
  Responder
Curvas de Peano « Teoria de Lie e Dinâmica disse:

03/07/2010 às 21:05

[…] que é um produto de espaços e, munido da topologia produto, é metrizável. Pelo teorema de Tychonoff, segue que é compacto. E, pelas considerações do post anterior, tem-se que é homeomorfo a […]

Responder

Teoria de Lie e Dinâmica